Две задачки на одну и ту же тему. Я их помню со школьных времён, а вот коллеги, как оказалось, не знали. Формулировка и решение довольно простые, но вот результаты — неочевидные. Попробуйте ответить интуитивно, прежде чем заглядывать под кат.
Итак, представим себе, что Земля — идеальный шар. Натянем по экватору верёвку, чтобы она плотно прилегала к поверхности Земли. После этого разрежем верёвку и добавим в место разреза кусок длиной в один метр. Длина экватора, как известно из географии, приблизительно 40000 километров, соответственно, длина «новой» верёвки будет 40’000’001 метр.Теперь два вопроса:
1) Равномерно поднимем верёвку на одинаковую высоту от земли по всему периметру Земного шара (используем, например, множество «подпорочек»). Сможем ли мы после этого просунуть под верёвку ладонь?
L = 40’000’000 метров => R=6’366’385.485 метров
L’ = 40’000’001 метр => R=6’366’385.644 метра
Разница =~ 0.159 метра, т.е. почти 16 сантиметров. Под верёвкой пролезет не только ладонь, но и средней упитанности кошка!
2) Начнём поднимать верёвку, но только в одной точке. На какую высоту мы сможем её поднять?
По теореме Пифагора, высота прямоугольного треугольника с основанием 30’000 метров и гипотенузой 30’000.5 метра = sqrt(30’000.5^2 — 30’000^2) =~ 173.2 метра (* — см update). Это больше, чем высота собора Мюнстер в Ульме (Германия) — самого высокого собора в мире!
Во втором решении мной были сделаны слишком смелые предположения и грубые прикидки, что повлияло на точность ответа. Строгое решение приведено в комментариях.
{ 12 } Comments
про кошку — байан.
вот я как-то интересовался стопкой сидиромов с записями всех значений md5
http://robinbobin.livejournal.com/272536.html
по моему, в решение 2й задачи закралась ошибочка
хотя мне с тобой, глыба, спорить не с руки…
:-))))
1. Правильно с точностью погрешности в Пи. 15.91549… см
2. Нет, приближать так нельзя. Основание треугольника 39320.13 метра. Соответственно веревка поднимется на 121.43 метра.
Я понимаю, что у меня в этом моменте шероховатость. Но почему именно 39320.13 ?
Ну как тебе сказать… Касательная образует прямой угол в треугольнике…
С рисунком-то всё понятно. Ты решал это тригонометрическое уравнение?
Двумя способами.
Расскажешь? Я не смог вспомнить или придумать как это делается. Стыд и позор :-(
С Вашим решением второй части позволю себе не согласиться. Предположения необоснованные, и изменяют результат на 50 метров!
Если мы удлиним веревку, и «подвесим» шарик на гвоздик, то получится картина, нарисованная на чертеже (гвоздик как бы справа, точка D)
Веревка будет прямой до определенных точек, а потом плотно «обляжет» шарик.
Вот и решим задачу.
На прямом участке (BD и CD) верёвка пойдет, очевидно, по касательной к шарику.
Тот метр, который мы добавили, является разницей между длиной дуги BOC и суммой BD и СD.
Дугу и ребра BD и СD выразим через угол альфа(в радианах) и радиус Земли r
BD = CD = r * tg(alpha/2)
BOC = alpha * r
Теперь попробуем решить уравнение:
2 * r * tg(alpha/2) — alpha * r = 1
Два моих многомудрых друга, спрошенные по ICQ, с ходу решить не смогли. Даже не было уверенности, что «есть аналитическое решение».
Я решил не мучаться и воспользоваться функцией Solver в Excel
Найденный угол оказался равен 0.70776214677061 градусов.
В этом случае длина дуги — 78640.2385300678 метров, а сумма длин рёбер — 78641.23852915 метров, т.е. разница — 1 метр, как и было попрошено.
Теперь посчитаем искомую высоту «гвоздика» от земли (OD).
OD = AD — r = r / cos (alpha/2) — r = 121.43 метра
Это и есть ответ. Надеюсь, нигде не напутал.
Превед!
Всё правильно, вот, юзер![[info]](http://stat.livejournal.com/img/userinfo.gif)
shepa выше по комментариям тоже привёл это уравнение и тот же ответ — 121.43. Но он, по его словам, решил его двумя способами!
Post a Comment